Impedanz im Smith-Diagramm
Handhabung und zeichnerische Anpassung
Dieses Dokument soll dem Leser die komplexe
Anpasstheorie nach Betrag und Phase näherbringen, das Verstehen
dazu erleichtern, das grundlegende Impedanzverhalten von Antennen erklären
und eine zeichnerische Anpassung eines jeden beliebigen komplexen Widerstandes
zeichnerisch, möglichst einfach und ohne komplexe Rechnung ermöglichen.
-
Grundlagen der Hochfrequenz
Spannung U in Volt
Strom I In Ampere
Phasenwinkel (phi) in Grad
Periodendauer T in Sekunden
Alle für die Anpassung notwendigen Kenngrößen lassen
sich daraus entwickeln:
Z [ohm]
Impedanz
Scheinwiderstand
|
Gesamtwiderstand aus R und X;
R und X stehen senkrecht aufeinander;
man schreibt auch: Z = R +-jX
(das j sagt aus: rechtwinklig zueinander)
Vorsicht Falle: |Z| |Z| = U/I
es gibt auch |Z| (Z-Betrag),
hier gilt |Z| = wurzel aus(R2 + X2)
|Z| ist aber für eine Berechnung der Anpassung
unbrauchbar,
wenn der Phasenwinkel phi
fehlt, weil nicht mehr beide Komponenten sichtbar sind!
Leider wird statt |Z| auch oft fehlerhaft einfach
nur Z geschrieben ohne den Phasenwinkel phi
oder R und X getrennt anzugeben
|
R [ohm]
Reeller Widerstand
|
Reell ist der Widerstand wenn die elektrische
Energie in Wärme umgewandelt wird.
R = |Z|cos(phi)
|
X [ohm]
Blindwiderstand
+jX = XL
-jX = XC
|
kann induktiv (+j)oder kapazitiv (-j) sein,
stellt Widerstand einer Spule oder eines
Kondensators dar
tritt dann auf, wenn Strom I und Spannung
U einen Phasenunterschied phi haben:
ist phi positiv => induktiv; ist phi negativ => kapazitiv;
L = X/(2*pi*f)
C=1/(2*pi*f*X)
je größer phi, desto größer auch X;
X = |Z|sin(phi)
|
|
Y [siemens]
Scheinleitwert
Admitanz
|
Kehrwert von Z; Y = 1/Z oder auch Y = G +-jB
|
G [siemens]
Wirkleitwert
Konduktanz
(Leitfähigkeit)
|
Kehrwert von R; R = 1/G
G sagt aus wie gut die Leitfähigkeit
des Widerstandes ist
Ist der Widerstand klein ist der
Leitwert groß/gut und umgekehrt
|
B [siemens]
Blindleitwert
Suspectanz
|
Kehrwert von X; B = 1/X
Für Kapazitäts d Induktivitätsberechnung
gilt ferner: L=1/(2*pi*f*B) C=B/(2*pi*f)
|
f [Herz]
Frequenz
|
Für uns immer bekannt
F = 1/T
|
Kursiv geschriebenes ist
für die zeichnerische Anpassung nicht nötig
Für die Antennenanpassung brauchen wir
den Reellen Widerstand R und den Blindwiderstand X. X wird hierbei
immer mit einem „j“ versehen, um die Zahlenwerte eindeutig zu kennzeichnen
und die Verwechslungsgefahr mit den Reellen Widerstandswerten zu verringern.
Außerdem kann jX positiv oder negativ werden (+jX, -jX). Z
oder|Z| ist für eine Anpassungsberechnung im Smith-Diagramm unbrauchbar.
Gewöhnen wir uns also schnell an folgende Darstellung: Impedanz
= R +-jX , oder als Beispiel in Zahlenwerten: 10ohm-j50ohm. Die
Antennenimpedanz Z besteht also aus zwei Komponenten die rechtwinklig
aufeinander stehen. Für eine resonante Antenne darf der Blindanteil
X allerdings nicht vorhanden, oder nur minimal sein. Also besteht die
resonante Antenne eigentlich nur aus dem reellen Widerstand R. Um gute
Anpassung zu erreichen muß also der positive oder negative Blindwiderstand
+-jX minimiert (Resonanz) und gleichzeitig der reelle Widerstand in die
Nähe von 50ohm transformiert werden. Außerdem ist es außerordentlich
wichtig bei der Transformation möglichst wenig Verluste zu erzielen.
Antennenimpedanzen
Z mit Reellem Anteil R und Blindanteil X
Bekannte Antennen (ohne Anpassung!) und ihre
Widerstände R, X, Z und |Z|
|
|
Kurze Antenne
|
GP
|
5/8tel
|
6/8tel
|
Dipol
|
Quad
|
Faltdipol
|
½ Lambda
|
|
R [ohm]
|
10
|
30
|
50
|
70
|
75
|
120
|
240
|
3000
|
|
X [ohm]
|
etwa-2000
|
0
|
-150
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
Z [ohm]
|
10-j2000
|
30+-j0
|
50-j150
|
70+-j0
|
75+-j0
|
120+-j0
|
240+-j0
|
3000+-j0
|
|
|Z| [ohm]
|
2000,025
|
30
|
158,1
|
70
|
75
|
120
|
240
|
3000
|
Diese Werte sind allgemein gültige Schätzwerte
Man sieht hier sehr deutlich dass Z und |Z|
(Z-Betrag) nicht das selbe ist. Jedoch tritt in diesen Fällen
kaum ein Blindanteil X auf, die Antennen sind also bereits fast
alle in Resonanz. Diese Form ist für unser Vorhaben nicht besonders
gut geeignet.
Die offene Antenne
Untersuchung der Impedanz einer Monopolantenne
abhängig von ihrer Länge
Beginnend bei 0,05 Lambda Länge bis zu
0,6 Lambda. Unsere Prototyp-Antenne hat zwei lambda/4 Radials,
die im Winkel von etwa 120Grad abfallen. Der Speisepunkt befindet
sich etwa 1m über dem Boden. Gemessen wurde jeweils der Reelle
Anteil R des Widerstandes und der Blindanteil jX. Z lässt sich
daraus einfach bilden, |Z| errechnen und ist in der folgenden Tabelle
einzusehen.
Um eine Vorstellung zu bekommen, sind die
entsprechenden Längen für das 10m und 2m Band angegeben.
|
Länge in
Lambda
|
0,05
|
0,1
|
0,15
|
0,2
|
0,25
|
0,3
|
0,4
|
0,5
|
0,6
|
|
R [ohm]
|
15
|
24
|
36
|
34
|
54
|
113
|
759
|
2000
|
249
|
|
X [ohm]
|
-806
|
-513
|
-256
|
-120
|
0
|
+165
|
+353
|
0
|
-564
|
|
Z [ohm]
|
15-j806
|
24-j513
|
36-j256
|
34-j120
|
54+-j0
|
113+j165
|
759+j353
|
2000+-j0
|
249-j549
|
|
Länge @ 28Mhz
|
0,5m
|
1m
|
1,5m
|
2m
|
2,5m
|
3m
|
4m
|
5m
|
6m
|
|
Länge @ 145Mhz
|
10cm
|
20cm
|
30cm
|
40cm
|
50cm
|
60cm
|
80cm
|
1m
|
1m20cm
|
Besonders wichtig ist die Schreibweise von
Z, der hier mit Reellem und Blindanteil angegeben ist (+-jX).
Hier erkennt man schnell, dass sich der Blindanteil
von 0,05lambda bis 0,25lambda im negativen befindet,
zwischen 0,25 lambda und 0,5 lambda positiv wird und oberhalb 0,5 lambda
wieder negativ wird.
Der Reelle Anteil des Widerstandes R steigt bis
zu einer Länge von 0,5 lambda kontinuierlich an, fällt
dann aber wieder.
Diese Impedanzen lassen sich nun in ein rechtwinkliges
und logarithmisch skaliertes Koordinatensystem einzeichnen.
Wir tragen R und +-jX getrennt voneinander auf. Dies
machen wir wie in obiger Skizze: Wir tragen waagerecht den Reellen
Widerstand R auf und senkrecht den Blindanteil X, nach oben induktive
(+jX) nach unten kapazitive (-jX) werte auf.
Es ist zu sehen dass die Antenne unten im
Längenbereich zwischen 0 und 0,25lambda Länge (durchgezogene
Linie) erst bei 0 sehr kapazitiv (kapazitiver Blindanteil –jX) beginnt,
diese Kapazität dann bei 0,25lambda Länge ganz verschwindet.
Hier wechselt die Antenne in den oberen induktiven
Bereich (punktierte Linie) (+jX). Dies geht bis zu einer Länge
von 0,5 lambda. Hier nimmt der induktive Blindanteil schlagartig
bis auf 0 ab (strichlierte Linie) und steigt dann wieder immens schnell
ins kapazitive (-jX) nach unten. Die Kapazität nimmt dann wieder
langsam ab, bis die Antenne bei 0,75lambda Länge abermals induktiv
(+jX) wird.
Dieses Koordinatensystem zeigt zwar beide
Komponenten, ist aber für Antennen relativ ungeeignet. Der Verlauf
ist recht chaotisch und unübersichtlich.
|
-
Die Antenne im Smith-Diagram
Verlauf der Antennenimpedanz im Smith-Diagramm.
Hier sind die Achsen, wie bereits oben verwendet, logarithmisch
skaliert.
Dabei werden die Achsen eines rechtwinkligen Koordinatensystems
wie in folgender Skizze „verbogen“.
Für den ersten Moment ist diese Darstellung sehr
gewöhnungsbedürftig. Alle senkrechten
Achsen werden hier in einem Punkt zusammen geführt.
Dies führt dazu dass alle großen Werte in einem einzigen Punkt zusammenlaufen.
Genau in der Mitte befindet sich unser Punkt für ideales SWR, 50ohm
+-j0ohm. Ganz Links befindet sich 0 ohm,
rechts laufen alle Achsen im Punkt „unendlich“ zusammen. Der Bereich
unterhalb der Waagerechten steht für den Kapazitiven Blindanteil.
Je weiter man hier auf dem Kreis von 0 aus nach unendlich geht, desto
kapazitiver ist die Antenne. Für das induktive Verhalten gilt das
gleiche nur eben für den oberen Bereich.
Das Verhalten der Monopolantenne abhängig
von ihrer Länge in Lambda
Normierung
Das Smith-Diagramm muß normiert werden.
Das bedeutet dass alle Widerstandsangaben im Diagramm mit 50ohm,
unserer charakteristischen Impedanz, multipliziert werden müssen.
1,0 entspricht also 50ohm.
Beispiel (0,3lambda):in Wirklichkeit im Diagram
Impedanz: 113 +j 156Ω
2,26 +j 3,12Ω
Verhalten der Antenne
Zwischen 0,05 Lambda und 0,25 Lambda:
Es ist zu erkennen, dass die Antenne mit 0,05
Lambda Länge nahe dem „unendlich“-Punkt beginnt.
Sie wandert mit zunehmender Länge immer mehr auf
den Resonanzpunkt bei 0,25 Lambda zu. Der Kapazitive Anteil nimmt
dabei stetig ab. Der Reelle Anteil steigt langsam bis auf etwas über
50 ohm an.
Zwischen 0,25 Lambda und 0,5 Lambda:
Die Antenne geht wieder auf den „unendlich“-Punkt zu. Dabei
wird die Antenne immer induktiver. Der Reelle Anteil steigt gewaltig
an und erreicht bei 0,5 Lambda sein Maximum.
Bei 0,5 Lambda schwenkt die Antenne plötzlich von
einem großen Induktiven Blindanteil in den unteren kapazitiven
Bereich. Allerdings muß die Antenne irgendwo die Waagerechte
schneiden und somit kurzzeitig resonant werden.
Oberhalb 0,5 Lambda:
Der Kapazitive Blindanteil nimmt langsam wieder ab, und
es ist zu erahnen, dass bei einer Länge von 0,75 Lambda wieder
Resonanz entsteht. Es ist bereits zu erkennen, dass das Verhalten
Zyklisch ist. Der Blindanteil wechselt alle 0,25Lambda das Vorzeichen.
Alle 0,5 Lambda ist die Antenne einigermaßen niederohmig. Außerdem
kommt die Antenne alle 0,5 Lambda dem „unendlich“-Punkt sehr nahe.
Dieses Verhalten ist für jede andere offene Antenne ähnlich
(Dipol, Langdraht, Kurze Antenne, 5/8tel, GP, Yagi, Helical, HB9CV,
etc.) Betrachtet man die Impedanz beginnend bei einer Antennenlänge
von 0, ist die Impedanz nahe dem „unendlich“-Punkt und dreht sich bei
Längenzunahme im Uhrzeigersinn. Die Spirale wird natürlich
auch durch die Antennendicke, Geometrie und parasitäre Elemente
in ihrem Verhalten beeinflusst. Wichtig für eine Offene Antenne ist,
dass immer ein ausreichend großer Gegenpol vorhanden ist um,
speziell bei Monopolantennen, keine Ströme
auf dem Kabelmantel hervorzurufen.
SWR-Kreis
Jeder Punkt mit gleicher Entfernung vom Mittelpunkt
(50ohm +-j0ohm) hat gleiches SWR. Das bedeutet dass mit
größer werdender Entfernung vom Mittelpunkt das SWR ansteigt.
Die meisten Smith-Charts haben eine Skala aufgedruckt, womit das
SWR mit einem Zirkel oder Lineal direkt ablesbar ist.
Ringkern-Transformatoren
Übertrager oder Baluns sind nur dann
sinnvoll eingesetzt, wenn die Impedanz die Transformiert werden soll
rein reell ist, also ohne Blindanteil. Ist das nicht der Fall, steigen
die Verluste und die Transformationseigenschaften sind nicht mehr überschaubar.
Es sollte daher nur auf der Waagerechten Achse mit Ringkern-Übertragern
gearbeitet werden. Weiterhin sind Impedanzen oberhalb 600ohm nur schwer
zu handhaben, unter anderem weil die Spannungen hier sehr hoch sind
und leicht Überschläge produzieren.
Die geschlossene Antenne
Nachfolgende Untersuchung gilt in Näherung
auch für jede andere geschlossene Antenne (Magnetische Antenne,
Delta-Loop, Quad, Faltmonopol, Faltdipol, etc.).
Untersucht wird eine Quad, beginnend mit einem Umfang
von 0,2 Lambda bis 1,1 Lambda Umfang.
Quad
Umfang:
veränderlich
|
Umfang
|
0,2
|
0,25
|
0,3
|
0,4
|
0,5
|
0,6
|
0,7
|
0,75
|
0,8
|
0,9
|
1
|
1,1
|
|
R[ohm]
|
0,5
|
1,9
|
8,5
|
172
|
625
|
122
|
89
|
87
|
88
|
103
|
136
|
205
|
|
X[ohm]
|
+530
|
+714
|
+1319
|
+3730
|
-4797
|
-1401
|
-756
|
-750
|
-409
|
-161
|
+70
|
+338
|
Eine geschlossene Antenne verhält sich
wieder ganz anders als eine offene Antenne. Hier tritt nur alle
0,5 Lambda eine Änderung des Vorzeichens vom Blindanteils jX
auf.
Antennen, für die dieses Impedanzverhalten in Näherung
gilt:
Faltmonopol Delta-Loop
Verhalten der Schleifenantenne im Smith-Diagramm
in Abhängigkeit von ihrem Umfang
Die geschlossene Antenne verhält sich
etwas anders als eine offene Antenne.
Sie beginnt, wenn man sie
zuerst als Kurzschluß am Leitungsende betrachtet bei 0 ohm
ganz links.
Dann wandert die Impedanz bei einer Längenzunahme
erst auf dem äußersten Radius im oberen Ende des Induktiven
Bereiches bis ganz nach rechts.
Erst hier trennt sich die Impedanz langsam
vom äußeren Rand des Diagramms und nimmt umgänglichere
Werte an.